DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y ELECTRÓNICA

 LAB FISI 3013 -   ( agosto -diciembre 2011)

e-mail: reibaretti2004@yahoo.com

Otras páginas

http://www1.uprh.edu/rbaretti/MethodsofTheoreticalPhysicsPart1.htm

Software recomendados.

1. MATLAB     

2. Wolfram Mathematica  

3. SAGE  http://www.sagemath.org/     GRATIS !!

4. Maxima, a Computer Algebra System , http://maxima.sourceforge.net/   GRATIS !!

5. Manual de MAXIMA: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima_1.html#SEC1

6. OCTAVE , http://www.gnu.org/software/octave/download.html ,   GRATIS !!

7. FORTRAN FORCE 2.0.9, http://download.cnet.com/Force/3000-2212_4-10067832.html?tag=mncol, GRATIS !!

Información general

Nota de Informes semanales /asignaciones                  (1/3)

1 er  exámen       (labs 1-6)                                         (1/3)

2ndo exámen       (labs 7-12)                                       (1/3)

Tutorías de Maxima en

1. Using wxMaxima Symbolic Math Software  , http://www.math.hawaii.edu/home/wxmaxima.html

2. Maxima - Using its symbolic math capabilities: http://www.hippasus.com/resources/symmath/maximasym.html

ALGUNAS FUNCIONES

Listado  de experimentos . Leer el manual antes de cada laboratorio.

Lab 1. Medidas

Cálculo del volumen de una esfera de radio 2.5 cm

V(r):= (4*%pi/3)*r^3; V(2.5),numer;

65.44984694978736

Pero no debemos tener más de dos cifras significativas , que son las que tiene el radio r ,por lo tanto

V ≈ 65 cm³ .

Ejemplo del uso del comando diff (f(x),x)  para tomar derivadas

Ejemplo de segunda derivada de la función f(x) = x³

La función exponencial se invoca con exp(x) , vea la Tabla de funciones que se ofrece más arriba.

Asignación

Halle las derivadas empleando MAXIMA

a) f(x) = exp(-3x² )    hallar     (df/dx)_x=1 , (obtenga resp numérica)

b) f(t) = sin(4t)     , hallar   (df/dt)_{t = π/3} ,  (obtenga resp numérica)

c) f(u) = 5.5 cos(π u +π/3)   hallar    (d²f /du² )_u=1/2 , ( obtenga resp numérica)

d) Hallar el volumen de un cilindro de diámetro 7.4 cm y altura 10.6 cm . Retener solo el número apropiado de cifras significativas en el resultado.

Lab 2 : Suma de Vectores

Ejemplo:

Dadas dos fuerzas F1 , F2 , hallar la resultante y la equilibrante.

Los componentes de la fuerza equilibrante son FEx = -FRx =-321 , FEy=-FRy = -321. La equilibrante apunta a - 45 grados por debajo del  eje -X .

      Ejemplos de integrales indefinidos

Asignación:

Resuelva usando MAXIMA

1. Dados los vectores   , /A/ = 20N  , θ_A = 45⁰ , /B/ = 25N  , θ_B = 85⁰ ,   /C/ = 35N  , θ_C = 125⁰ , hallar el vector equilibrante D , o sea

 A + B + C + D= (0,0) .

Hallar, a) componentes D =      b) magnitud /D/  ,   hallar el ángulo de D con el eje de X ---dibujar esquemáticamente

2. Hallar los integrales indefinidos

a) ∫ exp( - k² u) du        b) ∫ cos( ax +5) dx       c) ∫ r exp(-ar² ) dr

Lab 3: Movimiento en una dimensión

Integración con Maxima /ejemplos

La integración romberg ( integrales definidos) se puede invocar cuando no existe una antiderivada.

Otro comando para la integración numérica es quad_qags , ver el siguiente ;

Mas ejemplos:

(%i1) assume(a>0);
(%o1) [a > 0]
(%i2) integrate(1/(1+a*x^2),x,-inf,+inf);
     %pi /sqrt(a)   o sea     π/a^1/2

hallar        ∫  exp(-y²) dx /(1+ y² )^1/2    ,    -∞  ≤  y  ≤  ∞

romberg(exp(-y^2)/(1+y^2)^(1/2),y,-10,10);
(%o11) 1.524109388621885

Dado x(t)= exp(-t) graficar la velocidad dx/dt .

Maxima

x(t):=exp(-t);plot2d(diff(x(t),t),[t,0,3]);

Asignación:

Empleando MAXIMA hallar:

a) Hallar  la velocidad si  x(t) = t exp(-t) ; graficar v vs t .

b) integral definido  ∫₀¹ dx/(x² +2x +2 )   

c) integral definido  ∫₀² ( 1+ 2x + x³ )^3/2 dx 

Lab 4 : Aceleración

Lección de Maxima-ejemplo

plot2d(f(t),[t,0,3]);

Comando para graficar   plot2d(dfdt(t),[t,0,3]);

Asignación

a) Graficar x(t)= t² exp(-t)     ,      0 ≤  t ≤ 4

b) Hallar expresiones pra la velocidad  v(t)=dx/dt y la aceleración a(t) = d² x/dt²  usando MAXIMA  .

c) Graficar v(t) , a(t)   para     0 ≤  t ≤ 4 .

COPIA del exámen I de LAB FISI 3013

Copia examen lab Fisi 3013

LAB FISI 3013  examen 1 

Nombre____________________________# est.____________

Fecha ____________________________________

Resuelva dos problemas

1.Trabajo y energía

a) Si    sobre un objeto actua la fuerza F(x) = 6.5   (en newton) calcule el trabajo al moverse desde x=1  hasta x=5 metros =______________

b)si la masa del objeto es 0.6 kg y parte de reposo cual  sera su velocidad

 final= ________________

c)Una fuerza de 12 N se aplica a 30 grados sobre la horizontal desplazando un cuerpo por 3 metros, halle el trabajo= __________________

2.Considere la fig 2.

a)indique el valor de v en t =0.

b)indique el valor de v en t=4 seg

c) calcule la aceleración

 3.Fuerzas en equilibrio

Dadas F1= 20 newton a 30 grados con +X  , F2= 20 newton a +220 grados con +X

a) dibuje las fuerzas

b) escriba los componentes   F1x = _______    F1y=_________

F2x=_____________     F2y=_____________

c) halle la resultante   F3 , ( magnitud y dirección) dibujela

Laboratorio # 5 : Segunda ley de Newton

Ejemplo:

Dada la  velocidad v(t) = 10*(1-exp(-t) ) ~ m/s ;

Empleando MAXIMA

a) graficar v vs t       0 < t<4

b) hallar una expresión para la aceleración

c) hallar el desplazamiento , ∆x , en el, intervalo    0 ≤  t ≤ 4  s

Respuestas:

a)     v(t):=10*(1-exp(-t));plot2d(v(t),[t,0,4]);

b) a(t):=diff(v(t),t);a(t);   10 % e^{- t}

para hallar ∆x se integra númericamente con romberg

c) romberg(v(t),t,0,4);  30.18315594304301

en conclusión ∆x ≈ 30.2 m ( Se puede comparar con estimados del area bajo la curva)

Asignación

Dada la velocidad   v(t) = 10 exp(-t) cos (πt/4) ~ m/s

a) graficar v(t) vs t       ,    0 < t < 4

b) hallar una expresión para la aceleración

c) hallar el desplazamiento , ∆x , en el, intervalo    0 ≤  t ≤ 4  s

Lab 6 : Energía y Trabajo

Discusión / Ejemplo ( Referencias textos de Física General)

 Definición de la función de energía potencial

U(x) = - ∫ F(x) dx  + C    o también   U(r) = - ∫ F(r) dr  + C  

El cambio de energía potencial   es el negativo del trabajo realizado por al fuerza conservativa, ∆ U = - W .

 U(x_b) - U(x_a) = ∆ U = -W_a,b = - ∫^b _a F(x) dx =  - ∆ K  ~ J, (en sistemas conservativos ) , donde K =(1/2) m v² , es la energía cinética.

La energía total es E = K + U(x)    por lo que  K(x) = E-U(x)    ó    K(r) = E - U(r)

Ejemplo: Trabajo y energía de un oscilador armónico.

 Dado F(x) = -60 x = - k x   ;  x~ m  F ~ N  ; k = 60N/m .

a)      halle la expresión para U(x) haciendo C= 0 ; empleando MAXIMA (ver mas abajo).

   U(x) = - ∫F(x)dx + C =  30 x² + C . Si C=0 ,  U(x) = 30 x²

b)  Si la posición inicial x₀ =1 metro , masa=1 kg , y la velocidad inicial v₀ =0 m/s halle la energia total y K(x).

Calculamos la enrgía total que es la energía inicial cinética mas potencial,

E = K₀ + U(x₀) =(1/2)masa v₀²  + 30 (1) =0 + 30 J

La energía cinética en términos de la posición ,x, será  K(x) = E -U(x) .

 c) Graficar  E, K(x), U(x)   para      -1 < x <1

Asignación :  Empleando MAXIMA

Dada  F(r) = -3.99E17/r^2  ;  F ~ N , r~ m

a)     halle la expresión para U(r) ; haga la constante de integración  C = 0

b)    Sea E_total = 0 halle la expresión para la energía cinética en funcion de r ,  K(r) 

c ) Sea el radio de la Tierra, R_Tierra= 6.4 E6 m , grafique  K(r)  ,  U ( r)    para    6.4E6 m  <  r  < 6 (6.4E6)

Laboratorio 7 : Fricción

Ejemplo de solución de una ecuación diferencial (ED)  empleando MAXIMA ;   dy/dx = - g - by    , condición inicial  (CI) y(0)=0.

MAXIMA

Respuesta : y(x) =  c*exp(-bx) -g/b  .Para hallar la constante c , se usa la CI  y(0)=0 = c -g/b  ;  por lo tanto c= +g/b .

Escribimos finalmente     y(x) = -(g/b)[ 1- exp(-bx) ] .

     lim _{x→ ∞}  y  = -2 .

Asignación: Caída con fricción.   m*aceleración= peso + f _{fricción del aire}  (ver textos de Física)

El peso = -mg   , f _fricción = -bv .

Resolver              m dv/dt = - mg -b v   , datos y  CI  v(0)=0  , m=0.1kg , g=9.80 m/s²  , b= 5E-3 N-s/m  .

a ) hallar    v(t)      b) graficar v(t)    c ) cual es la velocidad terminal , o sea   lim _{t→ ∞}  (v) = ??

Solución: ( algunos detalles son omitidos)

m:0.1;g:9.8;b:5E-3;

ode2('diff(v,t)=-g-(b/m)*v,v,t);

v(t):=exp(-t/20)*(c-196*exp(t/20));

solve(v(0)=0,[c]);

c=196

c:196; plot2d(v(t),[t,0,120]);

Velocidad terminal o final = -196 m/s   = -mg/b .

Tablas de cálculo; estudiar para el exámen final :

Derivadas: ir a la página http://www.clearlaketutorials.com/calculus/Table%20of%20Derivatives.pdf  (aprenderse las derivadas desde la #6 hasta la #14 )

Integrales : ir a la página http://calculus.info/tables/integral/integ1/integ1.html ( aprenderse los integrales 1,5,7,8,9,11,12,13)

Laboratorio 8 :  Momentum Lineal 

 Ecuación diferencial  (ED) del oscilador armónico  (ver texto de clase)

Ejemplo :

Hallar la solución x(t) para el oscilador armónico con la ecuación de movimiento    (la ED)

   d² x/dt² = -(k/m) x  , sea k=1 N/m , m= 1kg ,condiciones iniciales x(0) = 2, dx(0)/dt = 0.

 k:1;m:1; ode2('diff(x,t,2)=-(k/m)*x,x,t);

La respuesta  general es         x = %k1 sin(t) + %k2 cos(t) .  Debemos aplicar  las CI para hallar k1, k2.

 La primera condición     nos da k2 ;                x(0) = 2 = k2*cos(0) ; por lo tanto k2 =2 m

x(t):= k1*sin(t) + k2*cos(t);v(t):=diff(x(t),t);v(t);

v(t) =  k1 cos(t) - k2 sin(t) . La segunda condición es  v(0)=0 = k1   ;

por lo tanto tenemos que la solución es

                    x(t) = k2*cos(t) = 2 cos(t)

Asignación

Resolver el sistema de ecuaciones lineales 

a)   x+2y+3z=1,  2x+y+z= -1 ,  3x-2y+z=2  empleando el comando "solve"

ejemplo      solve([x+y=5,2*x-3*y=1],[x,y]);  

x=16/5   , y = 9/5   .

b) Resolver  la ED

d² x/dt² = -(k/m) x  , con  k=4 N/m , m= 1kg  y condiciones iniciales x(0) = 0 , dx(0)/dt = 2.

Solución ( algunos detalles son omitidos)

Tablas de cálculo; estudiar para el exámen final :

Derivadas: ir a la página http://www.clearlaketutorials.com/calculus/Table%20of%20Derivatives.pdf  (aprenderse las derivadas desde la #6 hasta la #14 )

Integrales : ir a la página http://calculus.info/tables/integral/integ1/integ1.html ( aprenderse los integrales 1,5,7,8,9,11,12,13)

Laboratorio 9 :  Movimiento de Rotación

a) Ejemplo de producto vectorial : A = (1,2,3)  , B =(4,5,6)  , C = A x B = ( -3,6,-3)

código de MAXIMA

b) ejemplo de momento de inercia  I = ∫ x² ρ(x) dx ~ masa *L²  ,   0 < x < x_f .

Sea  ρ(x) = 8 exp(-x/10) g/cm ,   x_f = 10 cm . Hallar  I en   kg-m²  .

Maxima

rho(x):=8*exp(-x/10);romberg(x^2*rho(x),x,0,10),numer;

 1284.823367109432    ~   grams-cm² .    1.28E4 (1E-3) (1E-4)= 1.28E-3 kg-m² .

Assignación :

a) el momentum angular se define como  L = r x p .  La masa de un objeto es 2 kg y su posicion es

r =(1,2,3) ~ metros a la vez que su velocidad es v = (-5,2,1) ~ m/s ; siendo  p = m v ; calcule el vector L

b) hallar I  en kg-m²  según el ejemplo (b) si  ρ(x) = 7 exp(-x² /90) g/cm,   x_f = 10 cm

RESPUESTAS:

MAXIMA

problema a)

 load("vect")$

(%i11) [1,2,3]~[-10,4,2];    el segundo vector es p = m v

express(%i11);

[- 8, - 32, 24]    ~ kg m² /s

problema b)

rho(x):=7*exp(-x^2/90);

I:romberg(x^2*rho(x),x,0,10);      g -cm²

1251.g -cm² = 1.25 E-4 kg m

Tablas de cálculo; estudiar para el exámen final :

Derivadas: ir a la página http://www.clearlaketutorials.com/calculus/Table%20of%20Derivatives.pdf  (aprenderse las derivadas desde la #6 hasta la #14 )

Integrales : ir a la página http://calculus.info/tables/integral/integ1/integ1.html ( aprenderse los integrales 1,5,7,8,9,11,12,13)

Laboratorio 10 :  Oscilador armónico

Asignación ( ver ejercicio Lab 8)

Empleando MAXIMA.

a)  Hallar la solución x(t) para la  ED

   d² x/dt² = 4 x  con  condiciones iniciales x(0) = 1 m ,  dx(0)/dt = -1 m/s.

Tablas de cálculo; estudiar para el exámen final :

Derivadas: ir a la página http://www.clearlaketutorials.com/calculus/Table%20of%20Derivatives.pdf  (aprenderse las derivadas desde la #6 hasta la #14 )

Integrales : ir a la página http://calculus.info/tables/integral/integ1/integ1.html ( aprenderse los integrales 1,5,7,8,9,11,12,13)

Lab 11   : Velocidad del sonido

Asignación

a) Resolver la ED    dy/dt = - λ y   , (λ =50/hora)  CI  y(0) = 3000 . Graficar y(t) vs t .

 b) calcular  ( d² sin(x) /dx² )_x=π/4  = ______

c) calcular    (d  ln (2x) /dx)_x=2 = _________

d) hallar el, integral definido de  ∫ 20x dx   , 1 ≤ x ≤ 2 __________  

Tablas de cálculo; estudiar para el exámen final :

Derivadas: ir a la página http://www.clearlaketutorials.com/calculus/Table%20of%20Derivatives.pdf  (aprenderse las derivadas desde la #6 hasta la #14 )

Integrales : ir a la página http://calculus.info/tables/integral/integ1/integ1.html ( aprenderse los integrales 1,5,7,8,9,11,12,13)

COPIA examen II Lab Fisi 3013

LAB FISI 3013  examen num 2

Nombre________________________________ # est.

Fecha ____________________________________

Resuelva dos problemas.Incluya las unidades en el resultado.

1.Colisiones.(refiérase al experimento en el Lab)

a)un carro choca elásticamente con otro idéntico (que esta en reposo)  . La masa de cada carro es ____ gramos  y la velocidad inicial del primero ___ m/s. halle la velocidad final  _________________________

b)Calcule la energía cinética final del sistema (en J)__________________

2.Gas Ideal. La figura muestra un gas a la presión constante de ___ atmósferas.

a) halle el número de moles

b)Un gas se expande a presion constante de 2.0E 5 Pa desde __ litros hasta __ litros de volumen. ( 1L = 1.0E-3 m³ ). Calcule el trabajo(en J) ______________

3.Ley de Hooke y movimiento Armónico simple.

Un resorte se estira 7.5 cm cuando se le cuelgan ____ gm.

a) halla la constante de fuerza (en N/m)  __________________

b)cuál es el período  de oscilación __________________

Tablas de cálculo; estudiar para el exámen final :

Derivadas: ir a la página http://www.clearlaketutorials.com/calculus/Table%20of%20Derivatives.pdf  (aprenderse las derivadas desde la #6 hasta la #14 )

Integrales : ir a la página http://calculus.info/tables/integral/integ1/integ1.html ( aprenderse los integrales 1,5,7,8,9,11,12,13)

Lab 12 Calores específicos

Asignación

1.Integrales:    a)  ∫₀² exp(-2x) dx      b)  ∫₀^π/4 tan(-2x) dx       c)  ∫₀² (1+3y)^-1 dy 

 2.  ψ(x) =N exp(-x² /2) es la función de onda del estado raso del oscilador armónico cuántico, donde N es una constante de normalización. La ecuación diferencial (ED) de Schrodinger es  (-1/2) d² ψ /dx² +(1/2) x² ψ = E ψ   , donde E es la energía del estado raso. Sustituya  ψ(x) en la ED y halle el valor de  E.

 Segunda   Copia Examen II

LAB FISI 3013  examen num 2      dic 2008

Nombre________________________________ # est.________

Fecha ____________________________________

Resuelva dos problemas.

1.Ley de Hooke y movimiento Armónico simple.

Un resorte  tiene una constante de fuerza de 5 N/m.

a) calcule cuánto se estira si se le cuelgan 100 gramos______

b)Si el resorte se desplaza 3 cm desde el punto de equilibrio cual será el periodo _____ y la frecuencia en Hertz ___________

c)De una expresión para la pendiente de  la  grafica de T ²  vs  masa.

2.Colisiones.(refierase al experimento en el Lab)

a)un carro choca , inelasticamente, con otro  (que esta en reposo).  La masa del primer carro es  600gramos  , la del segundo 1.5  kg . La velocidad inicial del primero 1.5 m/s. halle la velocidad final ____________

b) calcule la energia cinética inicial del sistema _________________

c)Calcule la energia cinética final del sistema __________________

3.Sonido : Suponga que en la columna de aire la primera resonancia se produce a 7 cm.

a) indique la posición -en centímetros- aproximada de las  próximas tres resonancias.  ____________, ______________,_____________________

b ) calcule el largo de onda ________________

c)Si la velocidad del sonido es  344 m/s halle la frecuencia

de la onda ______________________