DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y ELECTRÓNICA

 LAB FISI 3013 -agosto 2010

e-mail: reibaretti2004@yahoo.com

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Software recomendados.

1. MATLAB     

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Información general

Nota de Informes semanales    50 %

1 er  exámen                           25 %

2ndo exámen                           25 %

Tutorías de Maxima en

1. Using wxMaxima Symbolic Math Software  , http://www.math.hawaii.edu/home/wxmaxima.html

2. Maxima - Using its symbolic math capabilities: http://www.hippasus.com/resources/symmath/maximasym.html

ALGUNAS FUNCIONES

Listado  de experimentos

Lab 1. Medidas

Ejemplo del uso del comando diff (f(x),x)  para tomar derivadas

O también de esta forma

Asignación

Halle las derivadas empleando MAXIMA

a) f(x) = exp(-3x² )    hallar     (df/dx)_x=1 =  (obtenga resp numérica)

b) f(x) = sin(4x)     , hallar   (df/dx)_{x = π/2} =  (obtenga resp numérica)

c) f(t) = 5.5 cos(π t +π/3)   hallar    (d²f /dt² )_t=1/2 ( obtenga resp numérica)

Lab 2 : Suma de Vectores

Continuación del ejemplo anterior : hallar la magnitud del vector f3  :    magf3:(f3.f3)^(1/2);   297.43

Asignación:

Resuelva usando MAXIMA

Dados los vectores   , /A/ = 20N  , θ_A = 45⁰ , /B/ = 25N  , θ_B = 85⁰ ,   /C/ = 35N  , θ_C = 125⁰ , hallar el vector equilibrante D , o sea

 A + B + C + D= (0,0) .

Hallar, a) componentes D =      b) magnitud /D/  ,   hallar el ángulo de D con el eje de X ---dibujar esquemáticamente

Lab 3: Movimiento en una dimensión

Integración con Maxima /ejemplos

 Integraciones indefinidas como  ∫ x² dx   , el int . definido ∫₀³ (x³ + 2 x ) dx  se escriben en MAXIMA de la siguiente manera

La integración romberg ( integrales definidos) se puede invocar cuando no existe una antiderivada.

Mas ejemplos:

(%i1) assume(a>0);
(%o1) [a > 0]
(%i2) integrate(1/(1+a*x^2),x,-inf,+inf);
     %pi /sqrt(a)   o sea     π/a^1/2

hallar        ∫  exp(-y²) dx /(1+ y² )^1/2    ,    -∞  ≤  y  ≤  ∞

romberg(exp(-y^2)/(1+y^2)^(1/2),y,-10,10);
(%o11) 1.524109388621885

Asignación:

Empleando MAXIMA hallar:

a)  integral indefinido ∫ dx/(x² +2x +2 )

b) integral definido  ∫₀¹ dx/(x² +2x +2 )   

c) integral definido  ∫₀² ( 1+ 2x + x³ )^3/2 dx 

Lab 4 : Aceleración

Lección de Maxima

plot2d(f(t),[t,0,3]);

plot2d(dfdt(t),[t,0,3]);

Asignación

1. Graficar f(t)= exp(-t) cos(π t)     ,      0 ≤  t ≤ 4

2.Hallar una expresión para la primera derivada ,df/dt,  usando MAXIMA  .

3. Graficar la expresion df/dt     ,    0 ≤  t ≤ 4 .

COPIA del exámen I de LAB FISI 3013

Lab 5 : Segunda ley de Newton

Dada la  velocidad v(t) = 10*(1-exp(-t) ) ~ m/s ;

Empleando MAXIMA

a) graficar v vs t

b) hallar una expresion para la aceleración

c) hallar el desplazamiento , ∆x , en el, intervalo    0 ≤  t ≤ 4  s

Respuestas:

a)     v(t):=10*(1-exp(-t));plot2d(v(t),[t,0,4]);

b) a(t):=diff(v(t),t);a(t);   10 % e^{- t}

c) romberg(v(t),t,0,4);  30.18315594304301

en conclusión ∆x ≈ 30.2 m ( Se puede comparar con estimados del area bajo la curva)

Asignación

Dada la velocidad   v(t) = 10 exp(-t) cos (πt/4) ~ m/s

a) graficar v(t) vs t

b) hallar una expresion para la aceleración

c) hallar el desplazamiento , ∆x , en el, intervalo    0 ≤  t ≤ 4  s

Lab 6 : Energía y Trabajo

Discusión / Ejemplo

 Definición de la función de energía potencial

U(x) = - ∫ F(x) dx  + C

 U(x_b) - U(x_a) = ∆ U = - ∫^b _a F(x) dx =  - ∆ K  ~ J, (en sistemas conservativos ) ,donde K =(1/2) m v² , es la energía cinética.

La energía total es E = K + U(x)

 Dado F(x) = -60 x    ; x~ m  F ~ N

a)      halle la expresión para U(x) haciendo C=0 ; empleando MAXIMA

   U(x) = 30 x²

b)  Si la posición inicial x₀ =1 metro , masa=1 kg , y la velocidad inicial v₀ =0 m/s halle la energia total y K(x)

E = K₀ + U(x₀) =(1/2)masa v₀²  + 30 (1) = 30 J

La energía cinética en términos de la posición ,x, será  K(x) = E -U(x) .

 c) Graficar  E, K(x), U(x)   para      -1 < x <1

Asignación :  Empleando MAXIMA

Dada  F(r) = -3.99E17/r^2  ;  F ~ N , r~ m

a)      halle la expresión para U(r) ; haga la constante de integración  C = 0

b)    Sea E_total =0 halle la expresión para la energia cinética K(r) 

c ) Sea R_Tierra= 6.4 E6 m , grafique  K(r) , U ( r)    para    6.4E6 m  <  r  < 6 (6.4E6)

Laboratorio 7 :  Momentum Lineal 

Ejemplos : a) Sistema de ecuaciones lineales   2x + 3y =5   ;  x  -y = 10 ;

código en MAXIMA  solve([2*x + 3*y =5,x -y =10],[x,y]),numer;  [[x = 7, y = - 3]]

b) ecuación diferencial del oscilador armónico

Hallar la solucion x(t) para el oscilador armónico con la ecuación de movimiento,

   d² x/dt² = -(k/m) x  , sea k=1 N/m , m= 1kg ,condiciones iniciales x(0) = 2, dx(0)/dt = 0.

 k:1;m:1; ode2('diff(x,t,2)=-(k/m)*x,x,t);

La respuesta  general es         x = %k1 sin(t) + %k2 cos(t) .  Debemos aplicar  las CI para hallar k1, k2.

                               x(0) = 2 = k2*cos(0) = k2   m 

x(t):= k1*sin(t) + k2*cos(t);v(t):=diff(x(t),t);v(t);

v(t) =  k1 cos(t) - k2 sin(t) . Aplicamos v(0)=0 = k1   ;

por lo tanto tenemos que la solución es

                    x(t) = k2*cos(t) = 2 cos(t)

Asignación

Resolver el sistema

a)   x+2y+3z=1,  2x+y+z= -1 ,  3x-2y+z=2 

b) Resolver

d² x/dt² = -(k/m) x  , con  k=4 N/m , m= 1kg  y condiciones iniciales x(0) = 0 , dx(0)/dt = 2.

Laboratorio 8 :  Movimiento de Rotación

a) Ejemplo de producto vectorial : A = (1,2,3)  , B =(4,5,6)  , C = A x B = ( -3,6,-3)

código de MAXIMA

b) ejemplo de momento de inercia  I = ∫ x² ρ(x) dx ~ masa *L²  ,   0 < x < x_f .

Sea  ρ(x) = 8 exp(-x/10) g/cm³ ,   x_f = 10 cm . Hallar  I.

Maxima

rho(x):=8*exp(-x/10);romberg(x^2*rho(x),x,0,10),numer;

 1284.823367109432    ~   grams-cm² .

Assignacion :

a) el momentum angular se define como  L = r x p .  La masa de un objeto es 2 kg y su posicion es

r =(1,2,3) ~ metros a la vez que su velocidad es v = (-5,2,1) ~ m/s ; siendo  p = m v ; calcule el vector L

b) hallar I  según el ejemplo (b) si  ρ(x) = 7 exp(-x² /90) g/cm³ ,   x_f = 10 cm

Laboratorio 9 :  Oscilador armónico

Ejemplo

Empleando MAXIMA.

Hallar la solución x(t) para la  ED

   d² x/dt² = +(k/m) x  , sea k=4 N/m , m= 1kg , condiciones iniciales x(0) = 1 m, dx(0)/dt = -1 m/s.

Para trazar el grafico escribimos

c1:1/4;c2:3/4;plot2d([x(t),v(t)],[t,0,2]);

Asignación:

Hallar la solución x(t) para la  ED

  d² x/dt² = - (k/m) x  , sea k=4 N/m , m= 1kg , condiciones iniciales x(0) = 1/2 m, dx(0)/dt = -1/2 m/s y  hacer un gráfico de

 x(t)  junto con v(t) contra el tiempo  t.

Laboratorio 10 : Velocidad del sonido

Ejemplos

;

Decaimiento exponencial  y la media vida .

Si dy/dt = -λ y ,    la solución es y(y) = y(0) exp(-λt)  = y(0) exp(- ln(2) t/τ ) . O sea , λ= ln(2)/τ     , τ  es la media vida .   y(t=τ) = y(0) exp( -ln(2) ) = y(0)/2    , la cantidad original y(0) se ha reducido a la mitad.

En el ejemplo (b) sea  λ = 50 /horas ,  τ = ln(2)/λ = 1.37E-2 horas . En ese tiempo la muestra ha decaído de 2000 a 1000 ( ver la grafica) . Vice versa si nos dan la grafica y suponemos que es un decaimiento exponencial podemos hallar que t ≈ .014 horas cuando y = 1000  . De ahí hallamos  λ = ln(2) /τ .                          

COPIA examen II Lab Fisi 3013

LAB FISI 3013  examen num 2

Nombre________________________________ # est.

Fecha ____________________________________

Resuelva dos problemas.Incluya las unidades en el resultado.

1.Colisiones.(refiérase al experimento en el Lab)

a)un carro choca elásticamente con otro idéntico (que esta en reposo)  . La masa de cada carro es ____ gramos  y la velocidad inicial del primero ___ m/s. halle la velocidad final  _________________________

b)Calcule la energía cinética final del sistema (en J)__________________

2.Gas Ideal. La figura muestra un gas a la presión constante de ___ atmósferas.

a) halle el número de moles

b)Un gas se expande a presion constante de 2.0E 5 Pa desde __ litros hasta __ litros de volumen. ( 1L = 1.0E-3 m³ ). Calcule el trabajo(en J) ______________

3.Ley de Hooke y movimiento Armónico simple.

Un resorte se estira 7.5 cm cuando se le cuelgan ____ gm.

a) halla la constante de fuerza (en N/m)  __________________

b)cuál es el período  de oscilación __________________

 Lab 11 Ley de enfríamiento

Ejemplo :

Oscilador con fricción   ED      d² x/dt² +(b/m) dx/dt +(k/m) =0 .      ec(1)

Sea k=1 n/m m=1 kg b= 1/(4π)    resolver la ED  con CI      x(0) =.5 m  , v(0) =0 .

MAXIMA

k:1,m:1;b:1./(4*%pi); ode2('diff(x,t,2)+(b/m)*'diff(x,t)+(k/m)*x=0,x,t),numer;

x(t):=exp(- 0.039788735803569*t)*(k1*sin(.999*t)+k2*cos(.999*t));

solve(x(0)=.5,[k2] );

k2=1/2

v(t):=exp(.0397*t)*(.999*k1*cos(.999*t)-.499*sin(.999*t))-.0397*exp(.0397*t)*(k1*sin(.999*t) +cos(.999*t)/2);

solve(v(0)=0,[k1]),numer;     k1 = 0.01986986986987 

Por lo tanto

x(t) = exp(- 0.039788735803569*t)*( 1.99E-2*sin(.999*t)+ (1/2)*cos(.999*t));

plot2d(x(t),[t,0,3*m/b]);

Oscilaciones con decaimiento.

Asignación

Resolver la misma ecuación  diferencial ec (1) con 

 k=2 N/m m=1 kg b= 1/(2π)    resolver la ED  con CI      x(0) =.3 m  , v(0) =0 .

Hallar la solución especifica x(t) y graficar  x(t) vs t  .

Lab 12 Calores específicos

Asignación

1. a)Hallar la solución general de la ED

            x (dy/dx) = 2y + x²

     b) hallar al solución que satisface la condición y(1) =2

2. Sea ψ(x) =exp(-x² /2) el estado raso del oscilador armónico cuántico.  .La ecuación de Schrodinger es

(-1/2) d² ψ /dx² +(1/2) x² ψ = E ψ   , donde E es la energía . Sustituya  ψ(x) en la ED y halle E.

 Segunda   Copia Examen II

LAB FISI 3013  examen num 2      dic 2008

Nombre________________________________ # est.________

Fecha ____________________________________

Resuelva dos problemas.

1.Ley de Hooke y movimiento Armónico simple.

Un resorte  tiene una constante de fuerza de 5 N/m.

a) calcule cuánto se estira si se le cuelgan 100 gramos______

b)Si el resorte se desplaza 3 cm desde el punto de equilibrio cual será el periodo _____ y la frecuencia en Hertz ___________

c)De una expresión para la pendiente de  la  grafica de T ²  vs  masa.

2.Colisiones.(refierase al experimento en el Lab)

a)un carro choca , inelasticamente, con otro  (que esta en reposo).  La masa del primer carro es  600gramos  , la del segundo 1.5  kg . La velocidad inicial del primero 1.5 m/s. halle la velocidad final ____________

b) calcule la energia cinética inicial del sistema _________________

c)Calcule la energia cinética final del sistema __________________

3.Sonido : Suponga que en la columna de aire la primera resonancia se produce a 7 cm.

a) indique la posición -en centímetros- aproximada de las  próximas tres resonancias.  ____________, ______________,_____________________

b ) calcule el largo de onda ________________

c)Si la velocidad del sonido es  344 m/s halle la frecuencia

de la onda ______________________